Si enuncia così: 'In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti' (ha cioè la stessa area): I Babilonesi, gli Egizi e forse altri popoli dell'antico Oriente conoscevano alcuni casi particolari del teorema di Pitagora, per es. il caso in cui i lati del triangolo fossero nel rapporto 3:4:5: (3²+4²=5²). A Pitagora si dovrebbe una dimostrazione generale (che però non ci è pervenuta) e la tradizione vuole che egli offrisse agli dei in sacrificio un bove, in segno di gratitudine per tale dimostrazione. Nel Menone di Platone si trova un procedimento intuitivo di dimostrazione, nel caso di un triangolo rettangolo e isoscele; negli Elementi di Euclide si trova una dimostrazione generale e rigorosa, basta sull'equivalenza. Il teorema di Pitagora è invertibile, vale a dire: 'se in un triangolo la somma dei quadrati di due lati è equivalente al quadrato del terzo lato, esso è rettangolo e il terzo lato è la sua ipotenusa'. Sono possibili varie generalizzazioni del teorema di Pitagora. Si ha anzitutto il teorema di Carnet (in Trigonometria), che vale per qualsiasi triangolo e contiene perciò, come caso particolare, il teorema di Pitagora; in secondo luogo si hanno estensioni di tipo dimensionale, la più semplice delle quali afferma che in un tetraedro trirettangolo il quadrato dell'area della faccia opposta al triedro trirettangolo (faccia che è l'analoga dell'ipotenusa per un triangolo rettangolo) è uguale alla somma dei quadrati delle aree delle atre tre facce.

Pitagorismo

Dottrina e sistema pitagorico. Il sodalizio, fondato da Pitagora a Crotone, si affermò politicamente anche in altre città della Manga Grecia. Un moto di opposizione (pare verso la fine del 5°sec.) mise però fine al pitagorismo crotoniate, i cui rappresentanti furono arsi vivi dagli avversari, a , eccezione dei soli Archippo e Liside. Liside, trasferitosi a Tebe, v'inaugurò la tradizione del pitagorismo tebano, a cui appartennero Filolao e i suoi scolarei Simmia e Cebete, noti attraverso il Fedone platonico; Arcippo, tornato nella patria Taranto, fu a sua volta l'iniziatore del pitagorismo tarentino, poi illustrato specialmente da Archita, l'amico di Platone. Atri principali rappresentanti dell'antica tradizione pitagorica, la quale si estinse nella seconda metà del sec. 4° a. C. per risorgere più tardi nel neopitagorismo, furono Eurito, Ocello Lucano Timeo di Locri, Echecrate, Arione, mentre ne subirono in vario modo l'influsso il medico Alcmeone, l'eracliteo Ippaso, l'atomista e anassagoreo Ecfanto, l'astronomo Iceta. A molti di questi antichi pitagorici la letteratura del neopitagorismo attribuì opere, ancora oggi superstiti, in cui essa pensava di ricostruire l'antico insegnamento della scuola, ma che naturalmente attestano piuttosto il pensiero neopitagorico che quello pitagorico. Di veramente antico non restano, in sostanza che pochi frammenti di Alcmeone, di Filoao e di Archita. Il verbo pitagorico è anzitutto etico-religioso. I membri dalla comunità (distiniti in 'essoterici' o novizi e in 'esoterici' o iniziati, e poi anche in 'cusmatici' e 'matematici') sono soggetti a norme rigorose; devono osservare il sacro silenzio e riconoscere l'autorità dogmatica della tradizione risalente a Pitagora (l'ipse dixit, è anzi tutto una formula pitagorica); inoltre devono obbedire a regole pratiche la cui finalità appare analoga a quella a cui mira l'orfismo. Anche il pitagorismo infatti , è decisamente orientato verso l'aldilà: propriamente pitagorica, più ancora che orfica, appare la concezione della metempsicosi (Reincarnazione). Ma non c'è dubbio che, oltre a questi motivi etico-religiosi, siano impliciti già nel più antico pitagorismo interessi scientifici, in primo luogo per le ricerche matematiche e musicali. La scoperta delle leggi matematiche determinanti i fenomeni musicali e, nello stesso tempo, l'approfondimento della matematica stessa, della quale i pitagorici possono essere considerati i fondatori nel mondo ellenico, li conducono a una visione del mondo che alla ricerca ionica dell'unica sostanza di tutte le cose risponde designando come tale lo stesso sistema dei rapporti matematici che in esse si rivela imperante. Tale dottrina ci è giunta in formulazione alquanto diverse (i numeri sono gli 'elementi' delle cose; i numeri sono l''essenza' delle cose; i numeri sono i 'modelli' delle cose, ecc.), che per l'incertezza e la scarsezza della documentazione è difficile interpretare come reali oscillazioni di pensiero o come fasi diverse di elaborazione; certo è che vi è implicita una separazione, un dualismo, tra 'numeri'e 'cose'. E' qui l'origine della dottrina che, attraverso un lungo processo evolutivo, influisce sul tardo Platone, il quale aveva del resto già subito l'influsso dell'idea pitagorica della metempsicosi. Ed è qui anche la ragione del particolare significato di alcuni numeri, fra tutti, della mistica 'decade' celebrata da Filolao, sulla quale i Pitagorici giuravano: essa infatti risulta dalla somma del 'pairmpari' (cioè dell'unità, in quanto generatrice sia della serie dei numeri pari sia della serie dei numeri dispari); del primo pari, il due, del primo dispari, il tre, e del primo quadrato, il quattro. Un altro dei temi principali dell'antica filosofia pitagorica sembra sia stato quello della determinazione degli opposti, fondata sulla coppia 'pari-dispari', da cui erano fatte derivare le altre ('limite-iillimitato','luce-tenebre','maschio-femmina','bene-male', ecc.), che segnavano i criteri delle riflessioni cosmologiche, etiche ecc.

Movimento filosofico-religioso, fiorito (1°sec.a.C. - 2°sec.d.C.) in Alessandria, che si ricollega ecletticamente, non solo e non tanto all'antico pitagorismo - con le sue dottrine dei numeri, della trasmigrazione delle anime, ecc. - quanto alle scuole platonica, aristotelica e stoica. Ha il suo fondatore, secondo alcuni, in Nigidio Figulo, il suo maggiore esponente in Apollonio di Tiana e altri rappresentanti in Moderato di Gades, Nicomaco di Gerasa, Numenio di Apamea, e , per alcuni suoi aspetti, lo Pseudo-Ermete Trismegisto. Tipiche di questo corrente sono la tendenza a ingrandire e trasfigurare leggendariamente le figure di Pitagora e dei suoi seguaci e la produzione di una vasta letteratura pseudopitagorica, attribuente cioè a personalità più o meno determinate dall'antico pitagorismo opere che in realtà contengono concezioni proprie solo del neopitagorismo. Caratteri generali del pensiero neopitagorico, che ha un'intonazione accentuatamente religiosa, sono il radicale dualismo di mondo e Dio, di carne e spirito (onde l'antico concetto pitagorico della perfezione acquistata il significato di un mezzo con cui l'individuo si libera dal peso della sua natura mondana per affisarsi nel divino), la concezione di forze spirituali mediatrici e la fede di una rivelazione trascendente la ragione umana. Al neopitagorismo è stata collegata da alcuni studiosi la basilica sotterranea rinvenuta nel 1917 a Roma presso Porta Maggiore, sotto la ferrovia Roma-Napoli. Datata alla metà del 1° sec.d.C., la cosiddetta basilica neopitagorica, a tre navate (delle quali quella centrale absidata), presenta decorazione in stucco di altissima qualità, con motivi (Saffo che si getta in mare dalla rupe di Leucade; Olimpo che chiede grazia ad Apollo per Marsia; Demetra che consegna le spighe a Trittolemo; Arianna che consegna a Teseo il filo che lo guiderà nel labirinto; arrivo di un'anima ai Campi Elisi; scene di culto di un serpente sacro, di un albero sacro; mense sacre, ecc.) per i quali si può giustificare la sua qualificazione come luogo di riunione e di culto misterico.
vedi anche: Pitagora
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